Образ и ядро гомоморфизма

Нулевой гомоморфизм

1. 
   общее решение однородной СЛАУ
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
   Каноническая проекция все подпространства в точности ядра каких-то гомоморфизмов

Теорема

Доказательство:

Обратно:

Следствие

Пример

Теорема

Основная о гомоморфизмах векторных пространств

Доказательство:

Корректность:

Теорема Фон-Дика

Для векторных пространств

Доказательство:

Линейные комбинации

- линейная комбинация

Тривиальная

Система векторов

1. Векторы занумерованы
2. Могут быть повторения

Система векторов называется линейно зависимой, если их нетривиальная линейная комбинация равная

Примеры

1. Система из одного вектора Линейно зависимая Этот вектор
2. Система из двух векторов Линейно зависимая
3. 
   Линейно зависимая:
4. 
   Её столбцы
   Её столбцы линейно независимы
   
   

Свойства линейной зависимости

1. ЛЗ Один из векторов является линейной комбинацией других
   
   
   
2. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема линейно независима
3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима
   

Линейная оболочка

Примеры

1. диаг. матрицы

пораждается векторным векторами

Если : конечномерное пространство, иначе, бесконечномерное (пример: )

Базис

Система векторов
Базис
единственным образом линейно выражается через

координаты вектора в базисе

Пусть линейно зависима


не базис

Любая линейно независимая система векторов пораждающая пространство

Лемма

Основная лемма линейной зависимости

Если пространство порождается векторами линейно зависима

Доказательство:

Рассмотрим СЛАУ

Переменных больше чем уравнений есть ненулевое решение:

линейный зависимая

Теорема

Любое конечномерное пространство обладает базисом

Доказательство:

Линейно независимая базисЛинейно зависимая убираем зависимый вектор (линейная оболочка не изменилась, потому-что вектор выражался через другие); делаем это пока система не станет линейно независимой

Теорема

Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одинаковое кол-во векторов

Доказательство:

Очевидно следует из основной леммы линейной зависимости

Размерность векторного пространства

- кол-во элементов в базисе

Примеры

"Стандартный базис"

Очевидно

кол-во свободных переменных

Базисы

Матрица перехода от к :

Пример

Лемма

Монотонность размерности

Лемма

Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса

- базис , дополним до базиса

Теорема

Любое векторное пространство над полем имеющее базис из элементов

Доказательство:

Следствие

Критерий изоморфности конечномерных пространств

- базис
- базис