- векторные пространства над





векторное пространство над самим собой

Линейная функция(/форма/функционал)

"Ставим в соответствие каждому вектору элемент поля"

- двойственное(/сопряжённое) пространство

Пример:

1. - линейная функция на произвольном
2. 
   
   
   
5. 
   
   - не линейная функция

- базис

- базис сопряжённый (/двойственный) к
(символ Кронекера) - координатные функции

Проверим линейную независимость

в

Все

Рассмотрим - второе сопряжённое пространство

Канонический изоморфизм

Канонический изоморфизм это изоморфизм не зависящий от базиса

Теорема

канонически изоморфно

Доказательство

Гомоморфизм:

Заметим!

Наличие канонического изоморфизма позволяет отождествить и

Чуть-чуть о терминологии

- векторы - ковекторы

В рамках второй лекции были решены задачи с листочка КТ_11_Сопряжённое

Всякий базис сопряжённого пространства сопряжён некоторому базису изначального пространства

Пусть

Аннулятор пространства -

Теорема

- базис

Доказательство

Теорема

Доказательство

соответствие:

Теорема

Любое подпростанство конечномерного пространства является множеством решений некоторой однородной СЛАУ

Теорема (Критерий базисности)

образует базис

Доказательство

квадратная матрица линейно назависима строки матрицы коэффициентов СЛАУ линейно независима определитель матрицы коэффициентов
единое решение (нулевое)