Теорема

, тогда

Доказательство

Следствие

Теорема

биекция между подпространствами и , причём

1. , то
4. 
   
   
   
   

Вспомним теорему о критерии базисности: - базис





Обратно - взять вторые аннуляторы

1. 
   
   
2. 
   
   
   
   
3. 
   
4. 
   Базисы Базисы
   
   
   
   
5. 
   
   
   
   
   

Следствие (альтернатива Фредгольма)

СЛАУ
СЛАУ

Теорема

Доказательство

- матрицы,

Теорема Кронекера-Капелли

СЛАУ совместна

Точная в члене


- мономорфоизм

- эпиморфизм

Доказательство

Надо доказать, что

Введём точки

- векторное пространство над
Аффинное пространство, ассоциированное - множество точек
с операцией

3. вектор такой, что
   

Лемма

2. 
   Доказательство:
   
   

Зафиксируем точку - точку отсчёта

Плоскость в Аффинном пространстве

(= Аффинное подпространство)

Иногда Аффинное пространство обозначается как

Множество точек вида , где
- направленное подпространство

Прямая

Пример:

Каноническое уравнение прямой:

гиперплоскость

Гиперплоскости - множества уровня линейных функций:

Пример:

1. 
   Аффинное координатное пространство
2. 
   каждое векторное пространство - аффинное
3. 
   
   
4. 
   Параметрическое задание аффинное плоскости - элементы ФСР
5. Аффинная оболочка - Аффинная оболочка Плоскость наименьшей , которая проходящая через все точки