Пусть
- -местная (n-арная) алгебраическая операция
-

-
-

Примеры

-

Примеры ,

Пример:

-

Алгебраическая система

Пример:

Общий формат:

Где:

• - функция
• - константа
• - "носитель"/"carrier set"

Гомоморфизм

Пример:

Гомоморфизм системы в себя - эндоморфизм

Биективный гомоморфизм - изоморфизм - bijective endomorphism

Изоморфизм на себя - автоморфизм

Пример неизоморфного эндоморфизма:

Пример изоморфизма:

Изоморфные системы имеют одинаковые св-ва, вне зависимости от сигнатуры

Утверждается что системы изоморфны:

- замкнуто относительно , если

подсистема - одинаковые операции и замкнутость (при этом )

- одна бинарная операция таблица Кэли на месте стоит ()

Пример полугруппы правых нулей:

Idempotency

при

Пример идемпотентности:

Нейтральность

- нейтральный слева - нейтральный справа

- нейтральный ("единица"/ unit constant)

Пример, наличия нейтрального элемента для одного действия и отсутствия для другого:

- правый нейтральный

Левого нейтрального нет

Если в X есть правый нейтральный и левый нейтральный, то они совпадают

- инволюция при - нейтральному

Пример:

Involution - "2 steps to return"

Idempotency - "any number of steps to return"

Регулярность (возможность "сократить")

регулярный слева если,
Регулярный справа если,

Предположение автора конспекта: если действие в комбинации с образует инъективную функцию, регуглярно. Пример: возведение в степень регулярно, тогда как возведение в степень не регуряно

Сложение (работает):

Умножение (не работает):

Симметрия

- правый симметричный если
- левый симметричный если
- симметричный если

Примеры:

Ассоциативность

Сложение/умножение да

Вычитание нет

Коммутативность

:
Но,

Теорема об обобщённой ассоциативности:

Если на задана ,

При любом не важна расстановка скобок

Подгруппы

ассоциативно - подгруппа

Моноид

- моноид:

1. Ассоциативность
2. Нейтральный элемент

Пример:

- not monoid

- monoid

НОК:

НОД:

Symmetrical monoid

Лемма

- моноид если

Если моноид обратим слева/справа - он регулярен слева/справа

Докажем:

Полугруппы:

- "гомоморфизм полугрупп"

При этом, если - моноиды

Гомоморфизм моноидов:

1. Гомоморфизм соответствующих полугрупп

Формально про моноиды, группы и полугруппы

На задано отношение эквивалентности
Эквивалентность "" называется согласованной с операцией "", если ():

Тогда можно на определить

Пример

:

Есть ли с умножением?

Группа - моноид в котором все элементы обратимы.

Лемма

Докажем:

Если - произвольный моноид, - группа обратимых элементов моноида.

Пример:

Лемма

- группа

- группа Абелева группа (коммутативна)

- группы Прямое произведение групп:

Примеры групп

1. - аддитивные группы
2. - мультипликативные группы
3. - геометрические векторы со сложением
4. - группа углов
   
5. - симметрическая группа множества
   
6. Правильный -угольник - группа поворотов
7. - диэдральная группа - группа всех самосовмещений для правильного -угольника
8. - группа остатков (вычетов)
9. - четверная группа Клейна