-

Теорема

Произвольный элемент группы:
И рассмотрим преобразование

Допустим, что элементы совпали:

Изначально все элементы группы разные противоречие - биекция (взаимно однозначное соответствие)

ассоциативность есть

2. Нейтральный элемент
3. 
   1-3 образуют группу;
   

Пример

(порядок )

Пример:

Примеры:

- циклическая группа, если порождающий эту группу (порождающий элемент)

Лемма

1. 
   
   Пусть , поделим с положительным остатком:
   - противоречит порядка
2. 
   
   
4. 
   
   
   
   
   
5. является порождающим группы

Теорема

1. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе
2. Любая конечная циклическая группа изоморфна группе

Доказательство I:

- биекция - гомоморфизм

Доказательство II:

Теорема (китайская теорема об остатках)

Наименьшее

Теорема

1. Любая группа циклической группы тоже циклична - - поражается элементом
2. подгруппа порядка

Доказательство I:

1. - цикл подгруппы порядка
2. возьмём с наименьшим
   
   Пусть это не так:
   Поделим с положительным остатком:
   
   
   Противоречие: , - наименьше натуральное , но

Доказательство II:

- точно циклическая
- кратное

Пример отсутствия изоморфизма:

Допустим группы изоморфны:

(изоморфизм биекция)

- группа


Рефлексивность:
Симметричность:
Транзитивность:
- левые смежные классы - множество левых смежных классов индекс подгруппы

Пример:

- правые смежные классы

Пример:

- левое разложение

- правое разложение

Свойства смежных классов

1. Образуют разбиение группы на непересекающиеся подмножества
2. биекция

Теорема Лагранжа

Следствие I:Порядок любой подгруппы делит порядок группы

Следствие II:

Следствие III:Любая группа простого порядка является циклической

Следствие IV:

Теорема Евклида

Простых чисел бесконечно много™

Доказательство:

Пусть - наибольшее простое число
- простой делитель числа
Перейдём к группе

Противоречие: - простое, хотя - наибольшее простое

Малая теорема Ферма

и взаимно простые, тогда

Доказательство:

Теорема Эйлера

Доказательство:

Теорема

Доказательство: