Кольца и поля

- кольцо если:

1. По сложению - абелева группа
2. - дистрибутивность

Следствия

Прямое произведение колец

- кольца

-
- покомпонентное сложение колец - покомпонентное умножение колец

-

1. -
2. - замкнутость относительно умножения Кольцо ассоциативно относительно умножения ассоциативное кольцо Кольцо коммутативно относительно умножения коммутативное кольцо Есть нейтральный элемент по умножению называется "кольцом с единицей"

Примеры

2. Кольцо десятичных дробей
   По поводу формата записи -
4. - не ассоциативно, не коммутативно, без
5. Конечные квадратные матрицы - ассоциативно, не коммутативно, с
6. - коммутативно, ассоциативно, без
7. 
   
   
   
   - подкольца вещественных отображений
8. 
   
   
   :
9. - ассоциативно, коммутативно,
   Булево кольцо:
10. - кольцо вещественных многочленов
11. - не кольцо:
12. Пример:
    
    
    
    
    - единица - дуальные числа
    
    
    
13. - кольцо двойных чисел
    
    
    
14. -
    - абелева группа
    

Пример:

- -
Если нет,

Мультипликативная группа кольца

- мультипликативная группа кольца все обратимые элементы

Нильпотент

- нильпотент, если

Примеры:

1. :
   - делители нуля
2. :
3. 
   
   
   

Определение поля

Коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей в котором каждый ненулевой элемент обратим - называется полем

Примеры

2. - простое - поле

Лемма

В поле нет делителей нуля

Доказательство:

противоречие

Примеры

1. - не поле
2. - не поле

Подполе

-

1. -

Пример

- поле

Доказательство:

Порядок кольца - мощность его носителя

Гомоморфизм колец

- кольца - гомоморфизм колец, если:

Примеры

2. кольцо сходящихся последовательностей:
   
   
   
   
   
3. 
   
   
   🥳

Изоморфизм мультипликативной группы кольца

Пример

Пусть - изоморфизм


- противоречие

Лемма

Если характеристика поля больше 0, то она является простым числом

Доказательство:

Пусть


В поле нет делителей нуля противоречие

Лемма

- поле,

Гомоморфизм полей

- гомоморфизм полей, если:

(!)

С изоморфизмом всё стандартно (добавляется биекция)

Следствие

Лемма

Любое поле характеристики , содержит подполе изоморфное

Пример

- поле из -х элеметов

- плоскость над полем
- прямая на плоскаости множества точек , удовл.
и хот бы один из

Будем сравнивать многочлены

Как функции: на

- кольцо - почти всюду (за исключением конечного количества)

Теорема

Если - ассоциативное кольцо - новое кольцо тоже ассоциативно; Если - коммутативное кольцо - новое кольцо тоже коммутативно; Если - кольцо с единицей - новое кольцо тоже с единицей;

Доказательство:

1. - коммутативно
2. - кольцо с
   
3. - ассоциативное кольцо