Пусть - коммутативное кольцо

Лемма (нехитрая)

- гомоморфизм колец

- поле

Теорема

Тогда существует единственные и такие, что и

Доказательство:

Пример:

Лучше посмотреть в записи,

(прим. автора: полезно сопоставить элементам из примера при делении в столбик - это создаст интуицию для формулы из пункта 2)

Доказательство единственности:

"Пусть две пары "
- противоречие

Теорема Безу (тоже нехитрая)

Достаточно интуитивно: остаток от деления на равен

Доказательство:

Следствие

- корень , если

Лемма

Корней не более

Доказательство:

Если - корень , то

- корень

Следствие

Доказательство:

Теорема Вильсона

Доказательство:

- корень кратности
но




- корень кратный
корень кратный но

Теорема

Если , то кратность корня многочлена , равна наименьшему порядку производной многочлена, не обращающейся в в точке

Теорема

- корни

Доказательство:

Формулы Виета

Многочлен называется приводимым над полем , если он раскладывается в произведение многочленов положительных степеней с коэффициентами из

Пример:

Неприводим над

Приводим над

Поле комплексных чисел

Теорема

Множество введённое с операциями выше является полем

Доказательство:

• Абелева группа по сложению
• Умножение коммутативно
• Умножение ассоциативно
  
• Дистрибутивность по сложению
  
• Нейтральный по умножению -
• Нейтральный по сложению -
• Найдём обратный
  
  
  
  Система
  

- мнимая единица
- алгебраическая форма записи - вещественная часть - мнимая часть - мнимые (ненулевая мнимая часть) - чисто мнимые (нулевая вещественная часть)

Поле комплексных чисел

Доказательство:

биекция

Автоморфизм Фробениуса

Лемма

является вещественным (очевидно мнимая часть )

Норма -

- модуль

- тригонометрическая форма
Показательная форма

Теорема