Идея д-ва ОТА

есть корень

"Дама с собачкой"

Уменьшаем

Следствие

Многочлен над имеет ровно корней с учётом кратности

Следствие 1

делится на

Следствие 2

Над полем любой многочлен раскладывается на линейные сомножители, а над , он раскладывается на линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом

Область целостности (целостное кольцо)

- Коммутативное, ассоциативное кольцо с без делителей

прим. автора продаунгрейженое поле

если существует

ассоциирован и

Пример:

Пример:

- многочлены над полем

Евклидово кольцо

Область целостности которая не поле - Евклидово кольцо, если существует такая функция норма, удовлетворяющая условиям

1. , причем - обратимый эл.
2. , что и либо , либо

Примеры:

- Гауссовы целые числа

Гауссовы целые числа

- обратимые

возьмём к нему ближайшее Гауссово целое число

- остаток, - неполное частное

Введём НОД

целостное кольцо общий делитель, который делится на все остальные общие делители

Пример:

Вещественные многочлены без лин. члена

общие делители

Теорема

В Евклидовом кольце (Линейное представление НОДа)

Доказательство:

Утверждается, что последний ненулевой остаток -

- общий делитель и

Простой элемент целостного кольца

Ненулевой необратимый элемент целостного кольца называется простым если его нельзя представить в виде:

- составное

Пример:

- неприводимые многочлены

линейные - точно неприводимы

только линейные

линейные и квадратичные с отрицательным

- не простые в

Лемма

Если делит он делит хотя бы одно

Доказательство:

шаг индукции

Аналог ОТА

Любой необратимый ненулевой элемент Евклидового Кольца может быть разложен на простые сомножители, причём это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и умножения на обратимые

Пример:

Доказательство:

Пусть это не так: среди всех элементов Евкл. кольца, для которых это не так , выберем какой-нибудь с наименьшей нормой - элемент

1. - простой; разлож. состав. из него самого Противоречие
2. - составной
   
   Противоречие - сами раскладываются в такое произведение простых
   
   

любое Евклидово кольцо факториально ( факториальности следует из теоремы)

Пример нарушения факториальности:

нарушение единственности разложения точно не факториальное кольцо

Теорема

Доказательство:

Теорема

Простых чисел бесконечно много:

Следствие

Над любым полем бесконечно много неприводимых многочленов

Кольцо Матриц

- кольцо Матрица индексов Конечные матрицы строк строк. квадратная матрица - матрицы размера над

Введём


(Сложение матриц) Введём

"строка на столбец"

Пример матричного умножения:

Теорема

1. - кольцо квадратных матриц
2. - ассоц. - ассоц.
3. - кольцо с с единицей

Доказательство:

1. Кольцо
   1. По сложению абелева группа
   2. Дистрибутивность
      
      
      
      
2. Ассоциативность
   1. 
      
      С точностью до перестановки - равны

Умножение бесконечных матриц не ассоциативно

- главная диагональ

не коммутативно (даже если коммутативно)

Пример:

В есть делители нуля (даже если их не было в )

не всегда имеет решение, если (даже если поле)

Пример:

Транспонирование

Пример:

Транспонирование квадратных матриц - антиавтоморфизм