Главная диагональ -

След -

Лемма

2. - коммут.
   

   Доказательство:

Умножение матриц на элементы кольца

Справа:

Слева:

если кольцо коммутативно

Лемма

Блочные матрицы

Лемма

Если размеры блоков согласованны, то сложение/умножение блочных матриц происходит по тем же правилам что и обычных матриц

сложение (требование, чтобы совпали оба измерения матрицы) умножение (т.к. матрично можно умножить, если совпали )

- стандартная матрица единицы (на месте , остальное )

Пример ():

Символ Кронекера

, где

Элементарные матрицы (TRD)

- поле

Трансвекция

Отражение

Псевдоотражение

Пример:

Умножаем на

Умножаем на

Умножаем на

Ступенчатая матрица

1. столбцов самых левых ненулевых элементов в строках образовывают возрастающую последовательность
2. Все нулевые строки внизу

Приведённая ступенчатая

Самые левые ненулевые элементы строки - ; эти единицы единственные ненулевые элементы в своём столбце

Теорема (метод Гаусса)

С помощью элементарных преобразований строк, можно преобразовать любую матрицу к приведённой ступенчатой

Доказательство:

- всё доказано

• Выбираем первый столбец где есть ненулевой элемент в -й строке
• Поменяем местами и -ую строки
• Разделим первую строку на
• Если в -ом столбце ещё есть ненулевые элементы, то с элементарных трансвекцией сделаем их нулевыми
  • Далее рассмотрим подматрицу со -й строки и столбца

СЛАУ (Система линейных алгебраических уравнений)

- Расширенная СЛАУ

- столбцы - строки

СЛАУ бывают

• Совместные
  • Определённые (1 решение)
  • Неопределённые (>1 решения)
• Несовместные (0 решений)

Эквивалентные СЛАУ

СЛАУ у которых совпадают множества решений

Очевидное замечание:В результате одинаковых преобразований получаются эквивалентные СЛАУ

Определитель

- поле

Полилинейна

линейна по каждому аргументу

Антисимметрична

(кососимметричична ) Антисимметричность кососимметричность:

Нормированность

- столбцы матрицы

Следствия

Теорема

удовл. вышеперечисленным условиям

Доказательство:

Пример:

1. 
   
   - все нечётные
2. 
   

Следствие

Невырожденная матрица

Матрица называется не вырожденной если её определитель не равен нулю

Пример:

- тый минор