Теорема

Доказательство:

Рассмотрим -ую строку:

Пример:

Треугольная матрица

На картинке "верхняя" треугольная матрица (контент наверху)

Теорема

при - треугольная матрица, (aka произведение диагональных элементов)

Теорема

Доказательство:

- глобально инверсий знака - определитель не изменился

Пример (определитель Вандермонда)

Лемма

Любая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк приводится к единичной

Теорема Крамера

Пример:

Доказательство:

Элементарными преобразованиями:

Трансвекция / Отражение / Псевдоотражение

Теорема (критерий обратимости матрицы)

Матрица обратима

Обратная матрица единственна

Пример

Общая линейная группа (Linear group)

Гомоморфизм групп (перемножаем ненулевые определители) Определитель позволяет выйти в коммутативную группу

Специальная линейная группа (Special Linear)

Треугольная линейная группа (Triangular Linear)

Унитреугольная линейная группа (Unitriangular Linear) на диагонали стоят

Матрица поворотов

В приведённой ступенчатой матрице - переменные соответствующие единицам в строках - базисные, а оставшиеся переменные - свободные

Пример

- базисные

- свободная

Лемма

Однородная СЛАУ, в которой количество неизвестных больше количества уравнений всегда имеет ненулевое решение

Как одна свободная

Векторные пространства

- поле - векторное (линейное) пространство над полем - множество векторов с внутренней операцией сложения
и внешней операцией умножения на скаляры из :

Аксиомы векторного пространства:

1. - Абелева группа

Следствия

Примеры:

1. Геометрические векторы
2. - столбцы элементов из ("арифметическое/координатное")
   
   
3. 
   
   
6. - подполе
   - векторное пространство над самим собой
7. - не векторное пространство ()

- векторные пространства над
- внешняя прямая сумма и

Носитель:
Действие
Действие

Утверждается что - векторное пространство над

Подпространство:

1. - подгруппа в

Пример:

3. Диагональные матрицы

Общее решение

1. Рефлексивность
2. Симметричность
3. Транзитивность

Демонстрация классов эквивалентности в фактормножестве в контексте геометрических векторов

Факторпространство

Гомоморфизм векторного пространства

- векторные пространства над полем


- биективные гомоморфизмы

изоморфны

- образ гомоморфизма (Image)